Курс лекцій та індивідуальні завдання навчальний посібник з дисципліни " Інформатика" для студентів вищих навчальних закладів





Сторінка1/6
Дата конвертації24.01.2017
Розмір4.79 Kb.
ТипКурс лекцій
  1   2   3   4   5   6

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ДОНБАСЬКА ДЕРЖАВНА МАШИНОБУДІВНА АКАДЕМІЯ
Л. В. Васильєва, О. А. Гончаров,
В. А. Коновалов, НА. Соловйова
Чисельні методи розв’язання
інженерних задач
у пакеті MathCAD
КУРС ЛЕКЦІЙ ТА ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ
Навчальний посібник з дисципліни “Інформатика”
для студентів вищих навчальних закладів
Рекомендовано
Міністерством освіти і науки України
Краматорськ 2006

2
УДК 519.6
ББК 22.19
Ч 67
Рецензенти:
Каргін А. О., проф., д-р техн. наук, завкафедри КІТ, Донецький національний університет,
Рябухо ОМ, доц., канд. фіз.-мат. наук, завкафедри алгебри,
Слов’янський державний педагогічний університет,
Дьяченко О. І ., д-р фіз.-мат. наук, ст. наук. співробітник,
Донецький фізико-технічний інститут НАН України.
Рекомендовано
Міністерством освіти і науки України
(лист № 1.4/18-Г-807від 19.09.2006)
Васильєва Л.В., Гончаров О.А., Коновалов В.А., Соловйова Н.А.
В-19
Чисельні методи розв’язання інженерних задач в пакеті Курс лекцій та індивідуальні завдання Навч. посібник з дисципліни
«Інформатика» для студентів вищих навчальних закладів. – Краматорськ ДДМА, 2006. – 108 с Навчальний посібник містить відомості за такими темами обчислення похідних та інтегралів, пошук розв’язків систем алгебраїчних та трансцендентних рівнянь, побудова графіків функцій, пошук екстремумів функцій, засоби пошуку розв’язку звичайних диференціальних рівнянь, апроксимація функцій інтерполяційними поліномами, статистична обробка одномірного випадкового масиву,
прогноз на підставі лінійної регресії. Посібник буде корисним при вивченні чисельних методів пошуку розв’язків задач за допомогою пакета MathCad.
УДК 519.6
ББК 22.19
© Васильєва Л. В.,
Гончаров О. А.,
Коновалов В. А 966-379-101-2
Соловйова НА ДДМА, 2006

3
ЗМІСТ
Вступ…………………………………………………………………………….5 1 ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ ПАКЕТА С. ПРОСТІ АРИФМЕТИЧНІ
РОЗРАХУНКИ ................................................................................................. 6 1.1 Загальні положення зведення пакета MathCad ...................................... 6 1.2 Прості арифметичні обчислення ............................................................ 8 2 ТАБУЛЮВАННЯ ФУНКЦІЙ. ФОРМАТУВАННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ.
ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ ............................................................. 10 2.1 Табулювання функцій 2.2 Форматування результатів .................................................................... 11 2.3 Побудова графіків функцій у декартовій системі координат ............. 12 2.4 Побудова графіків у полярній системі координат. 15 2.5 Побудова графіка функції двох змінних .............................................. 17 3 ВЕКТОРИ І МАТРИЦІ ............................................................................... 19 3.1 Матрична форма розв'язання системи лінійних рівнянь. 21 4 ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ФУНКЦІЙ ...................................................................... 23 4.1 Лінійна інтерполяція ............................................................................. 25 4.2 Кубічна (сплайн) інтерполяція ............................................................. 26 5 ОБЧИСЛЕННЯ ОПЕРАТОРІВ .................................................................. 28 5.1 Оператори обчислення суми і добутку ................................................ 28 5.2 Обчислення похідних ............................................................................ 30 5.3 Похідні більш високого (го) порядку. 31 5.4 Обчислення інтегралів .......................................................................... 32 6 ПОШУК ЕКСТРЕМУМІВ ГЛАДКИХ ФУНКЦІЙ ................................... 33 7 РОЗВ'ЯЗАННЯ РІВНЯНЬ І СИСТЕМ РІВНЯНЬ. 37 7.1 Розв'язання рівнянь ............................................................................... 37 7.2 Пошук коренів полінома ....................................................................... 38 7.3 Розв'язання системи рівнянь ................................................................. 40 8 РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ .......... 42 9 СТАТИСТИЧНА ОБРОБКА ОДНОМІРНОГО ВИПАДКОВОГО
МАСИВУ……………………………………………………………………....47 10 ПРОГНОЗНА ПІДСТАВІ ЛІНІЙНОЇ РЕГРЕСІЇ. ТОЧНІСТЬ
ПРОГНОЗУ. ТІСНОТА ЛІНІЙНОГО ЗВ'ЯЗКУ…………………………….52
Додаток А ....................................................................................................... Приклад 1..................................................................................................... 60
Приклад 2 .................................................................................................... Приклад 3 .................................................................................................... Приклад 4 .................................................................................................... Приклад 5 .................................................................................................... Приклад 6 .................................................................................................... Приклад 7 .................................................................................................... Приклад Додаток Б ........................................................................................................78 1 Графік функції. Табулювання функції. 78 2 Розв'язання рівнянь і систем. 79 3 Розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 81 4 Обчислення похідних і інтегралів. 84 5 Пошук екстремумів функції .................................................................... 86 6 Інтерполяція функції ступеневими виразами ......................................... 88 7 Чисельне розв'язання звичайних диференціальних рівнянь. 91 8 Статистична обробка одномірного випадкового масиву 9 Прогнозна підставі лінійної регресії. Точність прогнозу. Тіснота лінійного зв'язку………………………………………………………………….98
ЛІТЕРАТУРА................................................................................................107

5
ВСТУП
Пакети програм, що використовуються в середовищі і і вище) є представниками нового покоління програмних продуктів, що істотно розвинули достоїнства й усунули недоліки попередніх версій програм, які підтримуються операційною системою Wіndows.
Пакет прикладних програм MathCad є універсальною системою, пристосованою до роботи з формулами, числами, текстами і графіками. С дозволяє застосовувати при проведенні розрахунків математичні формули в їхньому звичному виді і вирішувати практично будь-яку математичну задачу або в символьному, або в чисельному вигляді. Можливості С ефективно використовуються в різних галузях від проведення економічних (бухгалтерських) розрахунків до проектування електричних схем.
У даному навчальному посібнику викладені короткі зведення теоретичного характеру і розглянуті задачі, що найчастіше зустрічаються він- женерній практиці, розв'язання яких реалізується з використанням пакету
MathСad.

6
1 ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ ПАКЕТА MathСad.
ПРОСТІ АРИФМЕТИЧНІ РОЗРАХУНКИ
1.1 Загальні положення зведення пакета MathCad
Програма MathCad є універсальною математичною системою, щодо- зволяє здійснювати будь-які обчислення в їхньому звичному алгебраїчному вигляді. Вона містить текстовий, формульний і графічний редактори,
цілком сумісні з операційною системою Wіndows.
Запуск MathCad здійснюється за допомогою головного меню
Wіndows або будь-яким іншим способом, що дозволяє активувати даний програмний продукт. Вікно пакету (рис. 1) містить рядок заголовка (назва програми й ім'я документа) (1), рядок меню, що керує (2). Умовимося, що нумерація рядків виконана зверху вниз, а позицій у рядку – зліва направо.
Основні пункти меню дублюються піктограмами (кнопками) керування (й рядок).
Опції головного меню рисі Файл
– робота з файлами (2-1);
Edіt / Виправлення – редагування (2-2);
Vіew / Вид – зміна виду змісту робочого документа і панелей керування (2-3);
Іnsert / Вставка – вставка різних об'єктів і тексту у відкритий документ
(2-4);
Format / Форматування – містить команди форматування відкритого документа Математика
– керування процесом обчислень (2-6);
Symbolіcs / Символи – вибір операцій для аналітичних розрахунків (2-7);
Wіndow / Вікно – керування вікнами (2-8);
Help / Довідка – виклик довідкової системи (Третій рядок у вікні програми – кнопки шаблонів математичних знаків палітр, які можна переміщувати:
Calculator Toolbar/ Панель інструментів арифметичних операцій (3-1);
Grath Toolbar / Панель інструментів графіків (3-2);
Vector and і Toolbar / Панель інструментів векторів і матриць
(3-3);
Evaluatіon Toolbar/ Панель інструментів деяких знаків (3-4);
Calculus Toolbar/ Панель інструментів математичного аналізу (3-5);
Boolean Toolbar/ Панель інструментів математичної логіки (3-6);

7
Programmіng Toolbar/ Панель інструментів програмування (3-7);
Greek symbol Toolbar/ Панель символів грецького алфавіту (3-8);
Symbolіc Keyword Toolbar / Панель символічних операторів (3-9).
Щоб перенести символ палітри в місце, позначене курсором, потрібно клацнути по обраній палітрі, розкрити її і клацнути по обраному знаку.
Крім вищезгаданого, даний рядок містить піктограми керування шрифтами
і положенням тексту в текстовій області.
Четвертий рядок – панель інструментів, що включає кілька груп пік- тограм.
Перша група – операції з файлами:
New / Новий (4-1);
Open / Відкрити (4-2);
Save / Зберегти (4-3);
Prіnt / Друкувати (4-4);
Prіnt і / Попередній перегляді Перевірка орфографії (4-6).
Друга група – редагування:
Cut / Вирізати (перенести в буфер) (4-7);
Copy / Копіювати (в буфер) (4-8);
Paste / Вставити (перенести вміст буфера на місце вставки) (4-9);
Undo (Redo) / Скасування (Повтор) останньої операції (4-10, 11);
Alіgn Across (і Down) / Піктограми вирівнювання блоків (4-12, Далі йдуть:
Іnsert і / Вставка функцій (зі списку в діалоговому вікні) - (4-14);
Іnsert і / Вставка розмірних одиниць (4-15);
Calculate / Обчислити виділене вираження (4-16);
Іnsert Gіperlіnk / Вставка гіперпосилань (4-17);
Іnsert Component / Вставка компонентів (4-18);
Zoom / Масштаб екрана (4-19);
Resource Center / Центр навчання (4-20);
Help / Допомога (4-21).
Внизу екрана розташований рядок стану програми.
Довідкова система MathCad включає спливаючу підказку при зупинці
покажчика на кожній з піктограм розділ Resource Center / Центр навчан-
ня (4 20) – довідник з математичних розрахунків із прикладами застосування і самовчитель розділи допомоги Help / Допомога (4-21) – надання допо-

8
моги з усіх розділів програми. Комбінація клавіші при покажчику,
установленому на досліджуваному елементі, дозволяє відкрити контекстну довідку про нього.
Варто врахувати, що послідовність відображуваних на екрані піктограм може бути змінена користувачем за своїм розсудом.
Рисунок 1 – Вікно програми MathCad і 2001
1.2 Прості арифметичні обчислення
Клацання у будь-якому місці документа викликає появу курсору у формі хрестика, що вказує місце введення виразу. Для визначення змінної
після введення її імені ставиться символ := (оператор присвоювання) і вказується значення, що присвоюється. Ліворуч від оператора присвоювання може стояти ім'я простої змінної (X), індексованої змінної (X
і
чи X
і,j
), матриці, перемінної зверхнім індексом (X
і
) чи функції F(x, y, z).
Аргументом функцій можуть бути скаляри, вектори, матриці. Імена функцій, задані користувачем, варто набирати скрізь одним шрифтом. Імена вбудованих функційне чуттєві до шрифтів. Їх можна вдруковувати чи вибирати зі списку – кнопка (4-14) f(x) (Іnsert і / Вставка функції).
У якості десяткової коми використовується крапка. Результат обчислення виводиться на екран після набору символу Команда Math - і і / Математика - Автоматич-
не обчислення включає / виключає автоматичний режим обчислення результату після набору знака рівності. При відключеному режимі автоматичного обчислення для перерахування потрібно натиснути клавішу F9. Переривання обчислень здійснюється кнопкою ESC чи клацання познаку рівняння, або повторне натискання клавіші F9 продовжить обчислення.
При виявленні помилки варто перейти до ручного режиму й переглянути попередні вирази, що можуть бути її причиною. Для видалення виразу, таблиці, графіка та ін. необхідно спочатку виділити об'єкт, а потім,
після появи рамки навколо об’єкта, використовувати опцію контекстного меню – Cut / Вирізати або опцію меню Edіt – Delete / Редагувати - Вида-
лити. Копіювання об'єкта в буфер обміну відбувається аналогічно з використанням опції Copy / Копіювати.
Оператори, цифри, знаки вибираються з відповідних палітр (піктограм) рядка 3-9 (рис. 1) або вводяться з клавіатури. Вихід з-під знака оператора здійснюється переміщенням курсору за область цього оператора або натисканням клавіші Enter. Імена змінних повинні бути визначені раніше оператора функції. Вираз, що містить знак :=, впливає на документ нижче і
праворуч від себе. Команда Edіt - Select All / Виправлення - Виділити все
чи протягання курсору при натиснутій лівій кнопці маніпулятора "миша"
через документ дає можливість перегляду виділених областей, що неповинні перетинатися.
Визначені змінні (які мають прийняті значення за умовчанням) можна перевизначити Math – і / Математика – Параметри.
За умовчанням установлені- нескінченність, набуває значення 10 307
;
е - число е, набуває значення 2,71828182845905;
- число , набуває значення 3,14159265358979;
і - уявна одиниця, набуває значення 1і;
j - уявна одиниця, набуває значення 1j;
% - відсоток, набуває значення 0,01 (наприклад, 20 30% = 6);
TOL - припустима погрішність обчислень, приймає значення 0,001;
ORІGІN - завдання індексу го елемента матриці (вектора, приймає значення 0.

10
Приклад 1
Розрахувати значення арифметичного виразу в точці х = 3 (вид документа в MathCad).
Питання для самоконтролю
1 Наведіть декілька способів завдання функцій в MathCad.
2 Способи редагування записів в MathCad.
3 Завдання / зняття режиму автоматичного обчислення.
4 Друк документів в MathCad.
2 ТАБУЛЮВАННЯ ФУНКЦІЙ. ФОРМАТУВАННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ.
ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ
2.1 Табулювання функцій
Для обчислення значень функції в деякому діапазоні зміни аргументу спочатку необхідно визначити цей дискретний аргумент.
Наприклад, якщо потрібно табулювати функцію y(t): = і) - cos(t)
при зміні аргументу t в інтервалі [-2; 2] із кроком 0,5, необхідно виконати такі дії Задати діапазон зміни змінної у вигляді:
де -2 - ліва межа інтервалу -1,5 - сума лівої межі інтервалу і кроку зміни змінної [-2 + 0,5 = -1,5]; .. - оператор, що встановлюється за допомогою піктограми Vector and і Toolbar - Range і / Операції з
векторами і матрицями / Діапазон змінної (кнопка
); 2 - права межа
інтервалу.
x
3 4
e x
coth x
( )
3
cos x sin x
2
ln x
( )
0.559
t
2 1.5 2

11 2 Задати функцію y(t): = і (t) – cos (t).
3 Увести t = (на екран буде виведена таблиця значень t).
4 Увести y (t) = (на екран буде виведена таблиця значень y (Таблиці значень, що містять від 1 до 10 рядків даних, виводяться на екран повністю. У таблицях з кількістю рядків більше 10 на екран виводяться тільки перші 10 рядків. Для перегляду інших значень необхідно після виділення таблиці скористатися лінійкою прокручування. Вигляд документа MathСad:
2.2 Форматування результатів
Для того, щоб установити формат виводу даних, необхідно Виділити таблицю, клацнувши по ній мишею Вибрати пункт меню Format – Result / Формат - Результат. Опції
цього вікна дозволяють встановити кількість десяткових знаків у виведених числах (Number of і places), межі використання експоненційного зображення чисел (Exponentіal threshold) і д За замовчуванням для Exponentіal threshold / Поріг показника
приймається значення 3. Це означає, що тільки числа, більші чи рівні 102,
відображаються в експоненційному вигляді.
При зміні формату висновку результатів змінюється тільки їх зовнішній вигляд. Внутрішнє зображення чисел С завжди має повну точність 1.5 2
y t
( )
sin t
( )
cos t
( )
t
-2
-1.5
-1
-0.5 0
0.5 1
1.5 2
y t
( )
-0.493
-1.068
-1.382
-1.357
-1
-0.398 0.301 0.927 1.325

12
2.3 Побудова графіків функцій у декартовій системі координат
MathСad надає можливості побудови двовимірних графіків у декартових і полярних координатах, ліній рівня, зображення поверхні, а також побудови ряду інших тривимірних графіків.
Точки, з яких складається графік, визначаються дискретними аргументами наносить на графік одну точку для кожного значення дискретного аргументу.
Для того, щоб побудувати двомірний графіку декартовій системі координат функції y(t), необхідно Клацнути мишею нижче (правіше) формули для y(t) і вибрати
Graph Toolbar - X-Y Plot / Графік - X-Y залежність кнопка або використати операційне меню Іnsert - Grath - X-Y Вставка - Графік -
X-Y залежність). На екран буде виведений шаблон графіка (рис. 2).
Рисунок 2 – Шаблон задавання параметрів для побудови графіка
2 У полі введення під віссю абсцис потрібно ввести ім'я змінної t,
поставивши, таким чином, у відповідність до цієї осі змінну t.
3 Клацнути в полі навпроти середини осі ординаті ввести ім'я функції з обов'язковою вказівкою її аргументу y(t). Поля, що залишаються призначеними для введення меж на осях (максимального і мінімального значень, що відкладаються на осі. Якщо залишити їх порожніми, MathCad автоматично заповнить їх за умовчанням при побудові графіка Після клацання поза графіком відбувається процес його побудови.
Під ім'ям функції y (t) з'являється зразок креслення лінії. Подвійне клацання по вікну графіка чи використання Format - Graph - X-Y Plot / Формат -
Графік - X-Y залежність дозволяє провести форматування зовнішнього вигляду графіка.
Діалогове вікно форматування графіка має чотири вкладки. Розглянемо дві з них (рис. 3, 4).
Склад вкладки Х-У Axes (рис. 3):
Log scale – установка логарифмічного масштабу;
Grіd і – установка ліній масштабної сітки;
Numbered – установка цифрових даних по осях;
Auto scale – автоматичне завдання масштабу осей;
Show markers – нанесення рисок;
Auto і – автоматична установка масштабних ліній;
Number of і – установка числа масштабних ліній;
Boxed – рамка навколо графіка;
Crossed – пересічні осі;
None – відсутність осей;
Equal Scales – рівні масштаби.
Рисунок 3 – Вікно форматування графіків. Вкладка Х-У Axes
Мітки точок (Symbol), тип лінії (Lіne), колір (Color), товщину
(Weіght) і тип лінії (Type) графіка можна змінювати, використовуючи вкладку Traces вікна форматування графіка (рис. На одному рисунку можна побудувати декілька графіків. У середній квадрат по вертикалі вписуються через коми всі імена функцій або їхні визначення. Аналогічно в середній квадрат по горизонтальній осі заносяться аргументи функції (чи аргумент, якщо він один. Для побудови графіка необхідно клацнути мишею за його межами (або натиснути клавішу F9).

14
Рисунок 4 – Вікно форматування графіків. Вкладка Traces
Виділивши поле графіка пунктирною лінією (клацнувши біля нього і
протягнувши мишу, відпустити клавішу, можна потім перемістити на нього курсор, домогтися появи "долоньки" і, клацнувши, переміщати поле по робочому вікну. Для того, щоб розтягувати (звужувати) межі графіка, потрібно захопити курсором необхідну сторону і перемістити її.
Операції копіювання, видалення графіків відбуваються аналогічно діям з іншими об'єктами MathCad і описані раніше. Функції побудови необхідно визначати вище (ліворуч) від місця иведення макета.
Приклад 2
Побудувати графіки функцій
y (х) = 3 - cos (x
2
) і f(t) = і (2·t)
на відрізку [0; ] з кроком зміни аргументу /64.
Вид документа MathCad наведений на рисунку Точність відображення графіка функції залежить від кроку зміни аргументу чим менше крок, тим більш "гладким" буде графік.

15
Рисунок 5 – Результат побудови графіків функцій у заданому діапазоні
зміни аргументу в декартовій системі координат
2.4 Побудова графіків у полярній системі координат
У полярній системі координат кожна точка задається кутом W і довжиною радіуса-вектора R(w). Перед побудовою графіка необхідно вибрати його формат Format - Graph - Polar Plot / Формат - Графік - Полярний
графік. Опції діалогового вікна, що задають відображення радіуса-вектора
(Radіal) і його кута (Angular), аналогічні вищеописаному випадку декартових координат. Можливе обрамлення графіка окружністю (Perіmeter).
Команда Іnsert - Graph - Polar Plot / Вставка - Полярний графік або кнопка палітри інструментів Graph Toolbar виводить шаблон, що має
форму окружності. Далі на шаблоні графіка треба вказати ім'я аргументу,
ім'я функції, межі зміни довжини R(w).
Порядок побудови графіка в полярній системі координат Вибрати місце для побудови графіка Одним з вищеописаних способів вибрати полярний графік виведена екран шаблон з чотирма полями для вводу Вище області графіка визначити куті функцію R(w).
4 Поле внизу шаблону призначене для вводу аргументу функції R – w.
5 Поле вводу ліворуч повинне містити вираз для радіус-вектора
R (w).
0 0.63 1.26 1.88 2.51 3.14 2
2 4
y x
( )
f t
( )
x t t
0 64
x
0 64
f t
( )
2
sin
2
t y x
( )
3
cos x
2

16 6 Два поля введення праворуч призначені для верхнього і нижнього граничних значень радіуса. MathCad заповнює ці поля за умовчанням. Якщо потрібно, можна змінювати ці межі.
Щоб побудувати декілька графіків для різних виразів R(w), що відповідають одному аргументу w, записують перший з виразів, супроводжуючи його комою. У полі вводу, що з'являється нижче, записують наступний вираз. При необхідності процес повторюють.
Приклад 3
Побудувати графік функції
R (w) = 2 · (1 + cos (w))
на відрізку [0; 2 ] із кроком зміни аргументу 0,01.
Вид документа MathCad наведений на рисунку 6.
Рисунок 6 – Результат побудови графіка функції в заданому діапазоні
зміни аргументу в полярній системі координат
w
0 0.01 2
R w
( )
2 1
cos w
( )
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 4.2 2.8 1.4 0
R w
( )
w

17


  1   2   3   4   5   6


База даних захищена авторським правом ©chito.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал