Методичні вказівки та завдання до лабораторних робіт з механіки львів-2001 2




Pdf просмотр
Сторінка1/6
Дата конвертації24.01.2017
Розмір1.04 Mb.
ТипМетодичні вказівки
  1   2   3   4   5   6
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ УКРАЇНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ЛІСОТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра фізики
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ
ДО ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ З МЕХАНІКИ



Львів-2001

2 Методичні вказівки та завдання до лабораторних робіт з механіки розглянуті і рекомендовані до друку методичною радою факультету технології деревообробки Українського державного лісотехнічного університету 08 лютого 2001 року, протокол № 3. Укладач доцент Орищин Ю. М. Рецензенти
Вайданич В. І, професор Українського державного лісотехнічного університету
Жеребецький С. К, доцент Українського державного лісотехнічного університету.
Комп’ютерний набір інженер Пірко І. Б.

3
Вступ
Методичні вказівки складені у відповідності з програмою загального курсу фізики для вищих навчальних закладів третього-четвертого рівня акредитації з розділу Фізичні основи механіки і покликані допомогти студентам у підготовці і виконанні лабораторних робіт, проведенні обчислень фізичних величин, знаходженні похибок результатів вимірювання. В методичних вказівках описані лабораторні роботи, які розроблені і використовуються на кафедрі фізики УкрДЛТУ і виконуються студентами перших-третіх курсів всіх форм навчання. До кожної лабораторної роботи даються необхідні теоретичні засади і відомості про обладнання і прилади, порядок виконання роботи. Теоретичний вступ, що містить короткий виклад основних явищі закономірностей конкретної роботи, дозволяє студентові самостійно підготуватися до виконання лабораторної роботи і мати цілком чітку уяву про явище, яке вивчається. Для більш глибокого вивчення досліджуваних явищ необхідно звернутися до рекомендованих першоджерел. Виконання лабораторних робіт допоможе студентам глибше засвоїти матеріал. Для цього необхідно підготуватися до лабораторної роботи, усвідомити її суть і розібратися, що і як вимірювати. Експериментальні результати доцільно подавати у вигляді таблиць і графіків. Таблиці і графіки - обов’язкова частина роботи, це те, що студенти повинні отримати безпосередньо на самому лабораторному занятті. В інструкції до кожної роботи є контрольні запитання, які потрібно підготувати вдома для захисту лабораторного звіту. Робота в фізичній лабораторії вимагає від студентів вдумливого, свідомого відношення. До виконання чергової лабораторної роботи треба підготуватися заздалегідь. Для цього треба самостійно вивчити відповідний теоретичний матеріалі ознайомитися з будовою приладів. Робота в лабораторії може бути корисною лише тоді, коли вона складає єдине ціле з іншими компонентами педагогічного процесу.

4
Заняття 1. ВИМІРЮВАННЯ. ЗАКОН РОЗПОДІЛУ ВИПАДКОВИХ
ПОХИБОК Нехай перед двома студентами поставлено завдання виміряти довжину, діаметр та об’єм малого циліндра. Перший студент для цієї мети користується звичайною лінійкою, другий - мікрометром. Зрозуміло, що циліндр - це об’єкт вимірювання довжина, діаметр та об’єм - це фізичні величини, які його характеризують, а лінійка та мікрометр - технічні засоби вимірювання. Такі величини, як довжину та діаметр, можна виміряти прямо (безпосередньо, тоді як для вимірювання об’єму вже потрібно знати, як він функціонально пов’язаний з довжиною та діаметром циліндра, які вимірюють безпосередньо. Студент, який користується лінійкою, провівши декілька вимірів, отримає одні і ті ж результати, в той же час як другий студент, зробивши n вимірів, отримає, в більшості випадків, різні результати. Чому Що робити з такими результатами Яким чином задати значення довжини та діаметру, щоб можна було виготовити такий самий циліндр в майстерні І що значить такий самий циліндр Відповіді наці та інші питання можна отримати, прочитавши та вивчивши наступні параграфи і виконавши навчальний лабораторний експеримент.
1.1. Вимірювання та їх похибки. Завдання вимірювань
Фізична величина характеризує певну особливість фізичного об’єкту явища, відображає його властивості, стан або процеси, що відбуваються в ньому та має якісний і кількісний зміст. Вимірювання - це експериментальне визначення кількісного значення фізичної величини з допомогою спеціальних технічних засобів. Воно складається із спостережень і виконання математичних операцій по визначенню результатів вимірювань. Спостереження - вимірювальна (експериментальна) операція із знаходження значення фізичної величини. Результат спостереження підлягає подальшій обробці, разом з результатами інших подібних операцій, з метою знаходження результату вимірювання. Пряме вимірювання - це вимірювання, при якому сигнал, що поступає на вхід засобів вимірювання, містить інформацію про саму фізичну величину. Вимірювання, при яких шукані фізичні величини отримують підрахунками, на основі їх залежності від величин, які вимірюють прямо, називають непрямими. Результати вимірювань містять похибки, які невіддільні від самого процесу вимірювання. Тому в результаті вимірювання отримуємо неістинне значення вимірюваної величини, а її наближене значення.

5 Виміряти фізичну величину - це значить не тільки знайти її наближене значення, алей оцінити відхилення одержаного значення від дійсного. Абсолютною похибкою вимірювання

x називають різницю між знайденим на досліді результатом спостереження (вимірювання) x та істинним значенням фізичної величини x
r
:
r
x

-

x


x



. (1) Для оцінки якості вимірювань вводять відносну похибку, яка рівна відношенню абсолютної похибки до істинного значення вимірюваної величини
%

100


x
x



E
r



. (2) З рівнянь (1) і (2) видно, що для того, щоб знайти абсолютну і відносну похибки, потрібно знати не тільки дослідне значення вимірюваної величини, ай також її істинне значення. Але якщо істинне значення відоме, то немає необхідності проводити вимірювання. Мета вимірювань полягає втому, щоб знайти невідоме значення фізичної величини. І знайти якщо не її істинне значення, то хоча б значення, яке мало від нього відрізняється. Тому формули (1) і (2), які визначають величину похибок, для практики непридатні. Потрібно навчитись розумно будувати методику експерименту, правильно використовувати отримані на досліді дані для того, щоб знайти таке значення фізичної величини, яке буде достатньо близьке до істинного, та вміти розумно оцінювати похибки вимірювань.
1.2. Види похибок
Похибки вимірювань можуть бути пов’язані з технічними труднощами (недосконалістю приладів, які використовують для вимірювань, з недосконалістю органів зору людини, а також з цілим рядом факторів, вплив яких важко врахувати (коливання температури повітря та його рух поблизу вимірювального приладу, малі вібрації елементів вимірювальної установки та інші. Розрізняють три типи похибок вимірювань грубі похибки (промахи, систематичні та випадкові похибки. Грубі похибки звичайно бувають пов’язані з несправністю вимірювальної апаратури, або з помилкою експериментатора при відліку чи запису показів приладу, чи зрізкою зміною умов вимірювання. Результати вимірювань, що відповідають цим похибкам, потрібно відкинути і, якщо потрібно, проводити нові виміри. Систематичні похибки - це похибки, які при багатократному вимірюванні однієї і тієї ж величини залишаються постійними або змінюються за певним законом. Ці похибки складаються з методичних та інструментальних (приладних) похибок вимірювань.

6 Методичні похибки пов’язані з недоліками методу вимірювань, недосконалістю теорії фізичного явища і неточністю розрахункової формули. Наприклад, при зважуванні тіла на аналітичних терезах будуть допущені систематичні методичні похибки, якщо не буде вноситись поправка на різницю виштовхувальних сил, що діють зі сторони повітряна зважуване тіло і різноважки. Ці похибки можна зменшити шляхом введення уточнень в розрахункову формулу. Інструментальні похибки пов’язані, наприклад, з недосконалістю конструкції, неточністю, допущеною при виготовленні вимірювальних приладів (невелика різниця в довжинах плеч ваг, неспівпаданням у стрілковому приладі центру шкали з віссю обертання стрілки, зміною ходу ручного секундоміра при зміні температури. Зменшення інструментальних похибок досягається використанням більш досконалих і точних приладів. Однак повністю позбутись інструментальних похибок неможливо. Випадковими похибками вимірювань називають похибки, абсолютна величина і знак яких змінюються при багатократних вимірюваннях однієї і тієї ж фізичної величини. Ці похибки викликані багатьма факторами, що не піддаються обліку. Наприклад, на покази чутливих аналітичних важільних ваг можуть вплинути порошинки, що сідають під час зважування на чашки ваги, подовження одного з плеч коромисла ваги, яке нагрівається від рук експериментатора, що знаходиться поблизу, конвекційні потоки повітря коло чашок та інші причини. Повністю позбутись випадкових похибок неможливо, але їх можна зменшити шляхом багатократного повторення вимірювань. При цьому відбувається часткова компенсація випадкових відхилень результатів вимірювання в сторону завищення і в сторону заниження. Розрахунок випадкових похибок здійснюється методом теорії ймовірностей і математичної статистики.
1.3. Імовірністні оцінки похибок
Для того, щоб виявити випадкову похибку вимірювань, необхідно повторити вимірювання декілька разів. Якщо кожне вимірювання дає відмінний один від одного результат, томи маємо справу зі ситуацією, коли випадкові похибки відіграють суттєву роль. За найбільш імовірне значення вимірюваної величини приймають її середнє арифметичне

x

значення, яке вираховують із всього ряду n
отриманих значень









n
1
i
i
n
2
1
x

n
1


n
x

...


x


x


x
, (3) де x
1
, x
2
, …,x
n
- результати окремих спостережень.

7 Цю величину називають ще вибірковим середнім. Суттєво, що вибіркове середнє є випадковою величиною в різних експериментах з
n вимірювань вона може приймати різні значення. Не дивлячись на це, вибіркове середнє ближче до x
r
, ніж одиничне вимірювання x
i
, оскільки відхилення від істинного значення x
r
менше більшості похибок одиничних вимірювань |x
i
– x
r
|. Зробивши достатньо багато вимірювань, можна практично повністю виключити випадкові похибки (взаємна компесація випадкових похибок тим більша, чим більше число вимірювань n). Реально, однак, мине в змозі здійснити багато вимірювань (та навіть при великому числі вимірювань мине відкидаємо систематичну похибку. Тому, зробивши серію обмеженого числа вимірювань, ми повинні навчитися оцінити точність вимірювань. З експерименту ми можемо знайти тільки відхилення окремого відліку
x
i
від вибіркового середнього . Позначимо це відхилення через

x
i
:



x

-

x


x

i
i

. (4) Для характеристики величини випадкової похибки необхідно задати два числа величину самої похибки

x і величину імовірності

, яка вказує, з якою імовірністю результат вимірювання не виходить за границі від
x -

x до x +

x. Величина

носить назву довірчої імовірності або коефіцієнта надійності. Інтервал значень від x -

x до x +

x називають довірчим інтервалом. Задання однієї тільки величини похибки без відповідної їй довірчої імовірності взагалі немає змісту, так як при цьому мине знаємо, наскільки надійні наші дані. Знання довірчої імовірності дозволяє оцінити ступінь надійності результату. Прийнято, а чому саме так, буде показано в наступному параграфі, характеристикою відхилень (розсіяння) значень x
i
вважати величину

x
, яку називають середньою квадратичною похибкою окремого результату вимірювання
2
r
n
1
i
i
x
)
x

-

(x

n
1







,




n
. (5) Величину
n


x
x





, (6) називають середнім квадратичним відхиленням результату всіх вимірювань, тобто середнього.

8
1.4. Закон розподілу похибок
Результати спостережень деякої фізичної величини x
i
(i = 1, 2, ..., n) можна унаочнити, побудувавши діаграму (гістограму, яка показує, як часто зустрічаються ті чи інші значення цієї величини. Для цього результати спостережень розміщують в порядку зростання від мінімального x
min
до максимального x
max
значень. Від найбільшого значення віднімаємо найменше значення, одержану різницю ділимо на деяке число одинакових інтервалів шириною

x і будуємо на цих інтервалах прямокутники з висотою, рівною n
m
/n



x, де n
m
- число результатів серії, що потрапляють в m – n інтервал, i

m

k. Підраховують число спостережень, які влучили в кожний інтервал. Ширина інтервалів може бути довільною і вибирається так, щоб це було вигідно. Для прикладу в таблиці 1 наведені деякі результати, а нарис зображена відповідна гістограма.
Таблиця 1
Результати деяких гіпотетичних вимірів
Інтервал, мм
Число випадків,
коли відлік попадає
в інтервал
Інтервал, мм
Число випадків,
коли відлік попадає
в інтервал
9,9 – 10,1 1
10,7 – 10,9 4
10,1 – 10,3 3
10,9 – 11,1 5
10,3 – 10,5 7
11,1 – 11,3 2
10,5 – 10,7 9 Якщо збільшити число спостережень n, а інтервал

x спрямувати до нуля, то гістограма наблизиться до плавної кривої p(x), яку називають густиною результатів спостереження або кривою розподілу похибок рис. Імовірність того, що результат спостереження влучає в проміжок
[x, x +

x], рівна добутку p(x)

x, а імовірність, що результат спостереження буде в проміжку [x
1
, x
2
], рівна площі під кривою p(x) між відповідними абсцисами x
1
і x
2
. Повна площа під кривою p(x), очевидно, рівна одиниці. Звичайно приймають, що густина розподілу результатів спостереження підпорядковується нормальному закону розподілу, який описується функцією Гаусса:







2
2
r

2
)
x

-

(x

-

exp


2

1


)
x
(
p



, (7) де


2
- дисперсія вимірювань, x
r
- істинне значення вимірюваної величини.

9 Рис. Гістограма даних, які наведені в таблиці 1 Рис. Типова крива розподілу виміряних значень При x = x
r
функція (7) має максимум. Це значить, що значення x, які лежать коло x
r
, отримуються при вимірах з найбільшою імовірністю. Параметр

характеризує ступінь розсіяння цих результатів відносно значення x = x
r
і співпадає з виразом

x
(див. вираз (5)). Чим більше

, тим ширша густина розподілу p(x) і тим більша імовірність помітних відхилень окремих результатів спостереження один від одного. В певному сенсі

характеризує якість процесу вимірювання фізичної величини, ступінь впливу випадкових похибок на результат окремого спостереження.
x, мм
Ч
ис
ло
в
ід
лі
кі
в
в
ін
т
ер
ва
лі

x
=
0
,2
м
м

10
5
10
11
P(x)
P
m a x
0
,6 P
m a x
x
r


x

10 На практиці величина

невідома і можна лише із обмеженого числа вимірів побудувати наближене значення, яке називають вибірковим середньоквадратичним відхиленням
2
/
1
n
1
i
2
n
i
x
1
n
)
x

-

(x


S












. (8) Тут замість x
r вберуть середнє значення
n
> (3), а знаменник зменшують на одиницю в порівнянні з (5), так як x
i
в середньому лежать дещо ближче до
n
>, ніж до x
r
. Аналогічно

x
. Із (6) вводять вибіркове середньоквадратичне відхилення середнього
n
S


S
x
x



. (9) Знання розподілу результатів спостереження дозволяє кількісно оцінити розсіяння результатів спостереження і середніх
n
> (3). Якщо взяти похибку вимірювань

x, рівну

, то інтервалу x
r
±

x відповідатиме довірча імовірність, яка рівна p = 68 % ; якщо

x = 2

, то p = 95 % ; якщо

x = 3

, то p = 99,7 %. При розрахунку похибки, як правило, користуються не


x

, а її наближеним значенням S

x

із (9). Тому довірчу оцінку результату вимірювань записують у вигляді





x
n

p,
r
S
t


x

-

x
, (10) де коефіцієнт t
p,n
, який називають коефіцієнтом Стюдента, враховуєте, що число спостережень є обмежене. Величину

x = t
p,n
S

x

називають довірчою випадковою похибкою результату вимірювань, а імовірність
p - надійністю (довірчою імовірністю) результату. Апарат математичної статистики дозволяє вираховувати t
p,n
для будь-яких p, n. Результати таких підрахунків наведені в таблиці 2.
Заняття 2. ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ ПРЯМИХ ВИМІРЮВАНЬ
2.1. Систематичні похибки
Оцінку систематичних похибок проводять аналізом особливостей методики вимірювання і паспортної точності приладів та контрольними дослідами. Систематичні похибки електровимірювальних приладів, що випускає промисловість (амперметрів, вольтметрів, мостів, потенціометрів і т.д.) визначають їх класом точності, який звичайно виражають в відсотках. Наприклад, амперметр класу 0,2 дозволяє проводити вимірювання з абсолютною похибкою, яка не перевищує 0,2 % від струму, що відповідає повній шкалі приладу. На всіх ділянках шкали ця похибка одна і та ж, а відносна похибка при цьому змінюється. Тому прилади забезпечують

11 добру точність при відхиленні стрілки майже на всю шкалу і погану на початку шкали. Тому доцільно вибирати прилад так, щоб стрілка приладу при вимірюваннях заходила за середину шкали. Клас точності приладу визначає максимальне можливе значення похибки. Але ж похибки прийнято характеризувати середньоквадратичними похибками, а не цими максимальними. Строгих формул для переводу одних похибок в інші не існує. Можна користуватись наступним простим правилом щоб оцінити середньоквадратичну похибку вимірювань електромагнітними приладами, потрібно похибку, що визначається класом точності приладу, поділити на два. Металічні лінійки дуже точні міліметрові поділки наносяться з похибкою не більше ± 0,05 мм, а сантиметрові - 0,1 мм. Похибки вимірювань, які проводять з допомогою малих лінійок, практично рівна похибці відліку на око (ця похибка складає 1 - 2 десятих долей поділки. Справний мікрометр забезпечує точність 0,01 мм, а похибка вимірювань штангенциркулем визначається точністю, з якою можна буде зробити відлік, тобто точністю ноніуса (у штангенциркулів ціна поділки ноніуса складає звичайно 0,1 або 0,05 мм.
2.2. Похибки непрямих вимірювань
Більшість фізичних величин можна виміряти тільки непрямим методом. Нехай шукана величина А є функцією незалежних величин
x
1
, x
2
, ... , x
n
:
)
x
,...,
x
,
(x

f


A
n
2
1

. (11) Загальні правила підрахунку похибок знаходять, користуючись диференціальним численням. Нижче приведені готові формули для їх підрахунку. Нехай
1
>,
2
>, ...,
n
> - середні арифметичні числові оцінки безпосередньо виміряних величина середні квадратичні похибки, що відповідають цим прямим вимірюванням. Як числову оцінку А звичайно беруть
)
x

,...,
x
,
x
(

f


A
n
2
1







, (12) а похибка

А
визначається за формулою
2
x
n
1
i
i
2
x
2
x
2
x
)

x

f

(



)

x

f

(


...


)

x

f

(


)

x

f

(

i
n
2
1
n
2
1


















. (13) Відносну середню квадратичну похибку величини А легко підрахувати за формулою

)
x

f


f
1
(



A
2
i
n
1
i
A






. (14)

12 Врахувавши, що
i
i
x

f

ln



x

f


f
1





, (15) тоді
2
x
n
1
i
i
A
)

x

f

ln

(




A
i







. (16) Похідна
1
x

f



має звичайний зміст частинної похідної функції f по x
1
, тобто похідна, при підрахунку якої всі аргументи, крім x
1
(в нашому випадку аргументи x
2
, x
3
, …, x
n
), вважають постійними. Аналогічний зміст мають частинні похідні по x
2
, x
3
, …, x
n
. Частинні похідні слід підрахувати при найкращих значеннях аргументів

x
1

,

x
2

,…,

x
n

В загальному випадку необхідно приймати до уваги як випадкові, такі систематичні похибки прямих вимірювань. Тоді середню квадратичну похибку вимірювань величини А розраховують за формулою

)
(S


)
(S


S
2
'
'
A
2
'
A
A


, (17) де
'
A
S
- середня квадратична випадкова похибка,
'
'
A
S
- середня квадратична систематична похибка. При підрахунку S
A
не потрібна висока точність - цілком достатньо знайти S
A
з точністю 15 – 20 %. Тому якщо
'
A
S
і
''
A
S
відрізняються в два рази або більше, то практично можна рахувати, що S
A
рівна більшій з них
)
'
'
S
,
(S

max


S
A
'
A
A

. (18) Наприклад, нехай
'
A
S
= 0,5
'
'
A
S
. Тоді
'
'
A
'
'
A
A
S

S
1,25


S


. (19) В цьому випадку для підвищення точності результату вимірювань немає змісту збільшувати число вимірювань, а потрібно постаратись зменшити систематичну похибку (наприклад, використовуючи більш точні прилади.
2.3. Правила заокруглення
Результати вимірювань є наближеними, атому при всіх обчисленнях потрібно дотримуватися правил дій з наближеними числами. Наближені числа потрібно заокруглювати за такими правилами
1) якщо цифра, що відкидається, менша від 5, то вона відкидається без зміни попередньої цифри числа, яке заокруглюють
(24,83

24,8; 35427

35000);

13 2) якщо цифра, яку відкидають, більша або рівна 5, то попередня цифра збільшується на одиницю. Остання цифра наближеного числа є завжди сумнівною. При заокругленні похибок остання цифра числа, що залишається, завжди збільшується на одиницю (0,036

0,04). Кількість десяткових знаків мішаного числа визначається кількістю цифр, що стоять після коми, включаючи і нулі, якщо вони не стоять в кінці числа (12,3075 – 4; 1,0300 - 2). Значущими цифрами називають всі правильні цифри (включаючи і сумнівну, крім нулів, що стоять на початку числа 3,56 – 3 ; 3,560 – 4 ; 0,0057 - 2 ; 150000 - 6. Останнє число можна заокруглити до двох значущих цифр : 150000 = 15

10 4
або 1,5

10 5
2.4. Запис результатів. Точність розрахунків.
Результат вимірювання записується у вигляді
x


x


x





Наприклад, запис m = 0,876 ± 0,008 г. означає, що в результаті вимірювань для маси знайдено значення 0,876 г. з середньою квадратичною похибкою 0,008 г. Причому, при вирахуванні середньої квадратичної похибки враховано як випадкові, такі систематичні похибки. При записі похибки потрібно заокруглювати величину до двох значущих цифр, якщо перша з них є одиницею, ідо одної значущої цифри в усіх решта випадках. Так, правильно писати 3 ± 0,2 ; ± 0,08 ; ± 0,14 і непотрібно писати ± 3,2 ; ± 0,23 ; ± 0,084. Не можна також заокруглювати
± 0,14 до ± 0,1. При записі результату вимірювань останньою повинна вказуватись цифра того десяткового розряду, який використовується при записі похибки. Так, один і той же результат, в залежності від похибки, запишеться у вигляді 1,2 ± 0,2 ; 1,24 ± 0,03 ; 1,243 ± 0,012 і т.д. Таким чином, остання з вказаних цифр (в останньому прикладі дві) є сумнівними, а решта – правильні. Записи m = 0,900 кг і m = 0,9 кг відрізняються суттєво. Похибки відповідно у тисячних і десятих долях кілограма.
Необхідна точнісь розрахунків визначається тим, що розрахунок не повинен вносити у вимірювання додаткової похибки. Звичайно, в проміжних розрахунках зберігається один додатковий знак, який далі, при записі кінцевого результату, буде відкинутий. В таблицях математичних і фізичних величин наводяться числа тільки з правильними цифрами і однією сумнівною, за максимальну (граничну) похибку заокруглення приймається половина одиниці сумнівної цифри
(sin 58º = 0,8480 ; похибка заокруглення дорівнює ± 0,00005).


14
2.5. Дії з наближеними числами
Результат будь-якої арифметичної дії з наближеними числами є також наближене число. Оскільки додавання і множення правильної цифри і неправильної дає неправильну, а правильної і сумнівної – сумнівну, то результат обчислень, очевидно, не може бути точнішим за найменш точне число в початкових даних. Звідси зрозуміло, що не тільки остаточні результати, але і числа в проміжних обчисленнях, а також вихідні наближені числа необхідно заокругляти. Заокруглення потрібно робити таким чином


Поділіться з Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6


База даних захищена авторським правом ©chito.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал